Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 11}^{30} n$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $n$ было равно $1$ .

$\sum_{n = 11}^{30} n = \sum_{n = 1}^{30} n - \sum_{n = 1}^{10} n$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{30} n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{30 (30 + 1)}{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $30 (30 + 1)$ .

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 (1)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15 (30 + 1)}{1}$

Этап 2.3.1.2.4

Разделим $15 (30 + 1)$ на $1$ .

$15 (30 + 1)$

$15 (30 + 1)$

$15 (30 + 1)$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $30$ и $1$ .

$15 \cdot 31$

Этап 2.3.2.2

Умножим $15$ на $31$ .

$465$

$465$

$465$

$465$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{10} n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 (10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Этап 3.3.1.2.4

Разделим $5 (10 + 1)$ на $1$ .

$5 (10 + 1)$

$5 (10 + 1)$

$5 (10 + 1)$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $10$ и $1$ .

$5 \cdot 11$

Этап 3.3.2.2

Умножим $5$ на $11$ .

$55$

$55$

$55$

$55$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$465 - 55$

Этап 5

Вычтем $55$ из $465$ .

$410$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$