Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{i = 6}^{12} - 5 i + 17$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 6}^{12} - 5 i + 17 = \sum_{k = 1}^{12} - 5 i + 17 - \sum_{k = 1}^{5} - 5 i + 17$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{12} - 5 i + 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{12} - 5 i + 17 = - 5 \sum_{k = 1}^{12} i + \sum_{k = 1}^{12} 17$

Этап 2.2

Найдем значение $5 \sum_{k = 1}^{12} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 5) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $12$ и $1$ .

$- 5 \frac{12 \cdot 13}{2}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $12$ на $13$ .

$- 5 (\frac{156}{2})$

Этап 2.2.3.3

Разделим $156$ на $2$ .

$- 5 \cdot 78$

Этап 2.2.3.4

Умножим $- 5$ на $78$ .

$- 390$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{12} 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.3.2

Подставим значения в формулу.

$(17) (12)$

Этап 2.3.3

Умножим $17$ на $12$ .

$204$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$- 390 + 204$

Этап 2.5

Добавим $- 390$ и $204$ .

$- 186$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{5} - 5 i + 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$- 5 \cdot 1 + 17 - 5 \cdot 2 + 17 - 5 \cdot 3 + 17 + \dots - 5 \cdot 5 + 17$

Этап 3.2

Упростим расширенную форму.

$10$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- 186 - 10$

Этап 5

Вычтем $10$ из $- 186$ .

$- 196$