Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 0}^{8} \frac{1}{6^{n}}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{6^{n + 1}}$ и $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $6^{n}$ и $6^{n + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $6^{n + 1}$ из $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

Этап 2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

Этап 2.2.3.2.4

Разделим $6^{n - (n + 1)}$ на $1$ .

$r = 6^{n - (n + 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$r = 6^{n - n - 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = 6^{0 - 1}$

Этап 2.2.6

Вычтем $1$ из $0$ .

$r = 6^{- 1}$

Этап 2.2.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{6}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $n$ в $\frac{1}{6^{n}}$ .

$a = \frac{1}{6^{0}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Этап 3.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$a = 1$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ на $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Этап 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Этап 5.2.2

Объединим.

$\frac{6 (1 - {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 (1 - \frac{1}{6})}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{6})}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{6}$ в числитель.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{6 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 + 6 (- \frac{1^{9}}{6^{9}})}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1^{9}}{6^{9}}$ в числитель.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6^{9}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем множитель $6$ из $6^{9}$ .

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{6 + \frac{- 1^{9}}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.5

Возведем $6$ в степень $8$ .

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 + \frac{- 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6 - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.8

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{6 \cdot \frac{1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.9

Объединим $6$ и $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.11.1

Умножим $6$ на $1679616$ .

$\frac{\frac{10077696 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.11.2

Вычтем $1$ из $10077696$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 - 1}$

Этап 5.6.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{5}$

Этап 5.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{10077695}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.8

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вынесем множитель $5$ из $10077695$ .

$\frac{5 (2015539)}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 2015539}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2015539}{1679616}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2015539}{1679616}$

Десятичная форма:

$1.19999988 \dots$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{335923}{1679616}$