Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{3}{4})}^{n}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

${(\frac{3}{4})}^{1} + {(\frac{3}{4})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим.

$\frac{3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{4^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{4^{3}} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.7

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.8

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Этап 2.1.9

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{4^{4}}$

Этап 2.1.10

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{64}{64}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{64} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{64}{64}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{9}{16}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{9}{16}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{27}{64}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27}{64} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{27}{64}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.7

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.8

Умножим $16$ на $16$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.9

Изменим порядок множителей в $64 \cdot 4$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.10

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{27 \cdot 4}{256} + \frac{81}{256}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 64 + 9 \cdot 16 + 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{192 + 9 \cdot 16 + 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Этап 2.4.2

Умножим $9$ на $16$ .

$\frac{192 + 144 + 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Этап 2.4.3

Умножим $27$ на $4$ .

$\frac{192 + 144 + 108 + 81}{256}$

Этап 2.5

Добавим $192$ и $144$ .

$\frac{336 + 108 + 81}{256}$

Этап 2.6

Добавим $336$ и $108$ .

$\frac{444 + 81}{256}$

Этап 2.7

Добавим $444$ и $81$ .

$\frac{525}{256}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{525}{256}$

Десятичная форма:

$2.05078125$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{13}{256}$