Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 10}^{60} 2 k$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 10}^{60} 2 k = \sum_{k = 1}^{60} 2 k - \sum_{k = 1}^{9} 2 k$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{60} 2 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $2$ за символ суммирования.

$(2) \sum_{k = 1}^{60} k$

Этап 2.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(2) (\frac{60 (60 + 1)}{2})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Добавим $60$ и $1$ .

$2 \frac{60 \cdot 61}{2}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $60$ на $61$ .

$2 (\frac{3660}{2})$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{3660}{2})$

Этап 2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$3660$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{9} 2 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $2$ за символ суммирования.

$(2) \sum_{k = 1}^{9} k$

Этап 3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(2) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $9$ и $1$ .

$2 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $9$ на $10$ .

$2 (\frac{90}{2})$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{90}{2})$

Этап 3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$90$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$3660 - 90$

Этап 5

Вычтем $90$ из $3660$ .

$3570$