Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}})$ в виде $\ln (x) - \ln (\sqrt{x^{2} + 1})$ .

$\ln (x) - \ln (\sqrt{x^{2} + 1})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Развернем $\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\ln (x) - (\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1))$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x^{2} + 1)$ .

$\ln (x) - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}$

Этап 5

Чтобы записать $\ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}$

Этап 6

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x) \cdot 2 - \ln (x^{2} + 1)}{2}$

Этап 8

Перенесем $2$ влево от $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln (x^{2} + 1)}{2}$