Основы мат. анализа Примеры

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x - 2224 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $2224$ к обеим частям уравнения.

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $36 y^{2} - 144 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 36$

$b = - 144$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 144}{2 \cdot 36}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 144$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 144$ .

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 (36)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 72}{36}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 72$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $36$ из $- 72$ .

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $36$ из $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 144)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 144$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{20736}{4 \cdot 36}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $36$ .

$e = 0 - \frac{20736}{144}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $20736$ на $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $144$ .

$e = 0 - 144$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $144$ из $0$ .

$e = - 144$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 144$

Этап 1.3

Подставим $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ вместо $36 y^{2} - 144 y$ в уравнение $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 144 - 64 x^{2} - 128 x = 2224$

Этап 1.4

Перенесем $- 144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 x^{2} - 128 x = 2224 + 144$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 64 x^{2} - 128 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 64$

$b = - 128$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 128}{2 \cdot - 64}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 128$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 128$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 (- 64)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 128)}^{2}}{4 \cdot - 64}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 128$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{16384}{4 \cdot - 64}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 64$ .

$e = 0 - \frac{16384}{- 256}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $16384$ на $- 256$ .

$e = 0 - - 64$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $64$ .

$e = 64$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ .

$- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$

Этап 1.6

Подставим $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ вместо $- 64 x^{2} - 128 x$ в уравнение $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} + 64 = 2224 + 144$

Этап 1.7

Перенесем $64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2224 + 144 - 64$

Этап 1.8

Упростим $2224 + 144 - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $2224$ и $144$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2368 - 64$

Этап 1.8.2

Вычтем $64$ из $2368$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2304$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $2304$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{36 {(y - 2)}^{2}}{2304} - \frac{64 {(x + 1)}^{2}}{2304} = \frac{2304}{2304}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{64} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{36} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 8$

$b = 6$

$k = 2$

$h = - 1$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 1, 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{64 + {(6)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{64 + 36}$

Этап 5.3.3

Добавим $64$ и $36$ .

$\sqrt{100}$

Этап 5.3.4

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$10$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, 10)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, - 6)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, 12)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, - 8)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}}{8}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 6^{2}}}{8}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 36}}{8}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $64$ и $36$ .

$\frac{\sqrt{100}}{8}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{8}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{10}{8}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $10$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 (5)}{8}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{4}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{6^{2}}{10}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{36}{10}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $36$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\frac{2 (18)}{10}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{18}{5}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Этап 11.2

Упростим $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Этап 11.2.1.4

Умножим $\frac{4}{3}$ на $1$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 6}{3}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $4$ и $6$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Этап 12.2.1.5

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 12.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 6}{3}$

Этап 12.2.5.2

Добавим $- 4$ и $6$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 1, 2)$

Вершины: $(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Фокусы: $(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Эксцентриситет: $\frac{5}{4}$

Фокальный параметр: $\frac{18}{5}$

Асимптоты: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 15