Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} - 3 y - x + 4 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y - x + 4 = - y^{2}$

Этап 1.1.1.2

Добавим $3 y$ к обеим частям уравнения.

$- x + 4 = - y^{2} + 3 y$

Этап 1.1.1.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - y^{2} + 3 y - 4$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- x = - y^{2} + 3 y - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- x = - y^{2} + 3 y - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$x = y^{2} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (3 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot (3 y)$ в виде $- (3 y)$ .

$x = y^{2} - (3 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.2.3.1.6

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + 4$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $y^{2} - 3 y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 4$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{3}{2}$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$e = 4 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 4 - \frac{9}{4}$

Этап 1.2.4.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Этап 1.2.4.2.3

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

Этап 1.2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{4 \cdot 4 - 9}{4}$

Этап 1.2.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Умножим $4$ на $4$ .

$e = \frac{16 - 9}{4}$

Этап 1.2.4.2.5.2

Вычтем $9$ из $16$ .

$e = \frac{7}{4}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$ .

${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = {(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{7}{4}$

$k = \frac{3}{2}$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2, \frac{3}{2})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = \frac{3}{2}$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

Фокус: $(2, \frac{3}{2})$

Ось симметрии: $y = \frac{3}{2}$

Директриса: $x = \frac{3}{2}$

Этап 10