Основы мат. анализа Примеры

$- 2 y^{2} + x - 4 y + 1 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $2 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x - 4 y + 1 = 2 y^{2}$

Этап 1.1.2

Добавим $4 y$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 = 2 y^{2} + 4 y$

Этап 1.1.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = 2 y^{2} + 4 y - 1$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $2 y^{2} + 4 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 4$

$c = - 1$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (2)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{2}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 2$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (2)}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 1 - \frac{4}{2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 1 - \frac{2}{1}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$e = - 1 - 1 \cdot 2$

Этап 1.2.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = - 1 - 2$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$e = - 3$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(y + 1)}^{2} - 3$ .

$2 {(y + 1)}^{2} - 3$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = 2 {(y + 1)}^{2} - 3$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 2$

$h = - 3$

$k = - 1$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 3, - 1)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{23}{8}, - 1)$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = - 1$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{25}{8}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 3, - 1)$

Фокус: $(- \frac{23}{8}, - 1)$

Ось симметрии: $y = - 1$

Директриса: $x = - \frac{25}{8}$

Этап 10