Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{121} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{196} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{121} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{196} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 14$

$b = 11$

$k = 8$

$h = - 4$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 4, 8)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(14)}^{2} - {(11)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$\sqrt{196 - {(11)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $11$ в степень $2$ .

$\sqrt{196 - 1 \cdot 121}$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $121$ .

$\sqrt{196 - 121}$

Этап 5.3.4

Вычтем $121$ из $196$ .

$\sqrt{75}$

Этап 5.3.5

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\sqrt{25 (3)}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$5 \sqrt{3}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 4, 8 + 14)$

Этап 6.3

Упростим.

$(- 4, 22)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 4, 8 - (14))$

Этап 6.6

Упростим.

$(- 4, - 6)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 4, 8 - (5 \sqrt{3}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(14)}^{2} - {(11)}^{2}}}{14}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{196 - 11^{2}}}{14}$

Этап 8.3.2

Возведем $11$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{196 - 1 \cdot 121}}{14}$

Этап 8.3.3

Умножим $- 1$ на $121$ .

$\frac{\sqrt{196 - 121}}{14}$

Этап 8.3.4

Вычтем $121$ из $196$ .

$\frac{\sqrt{75}}{14}$

Этап 8.3.5

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)}}{14}$

Этап 8.3.5.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{14}$

Этап 8.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(- 4, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Эксцентриситет: $\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

Этап 10