Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 2$

$h = 3$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(3, - 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Этап 5.3.3

Добавим $16$ и $9$ .

$\sqrt{25}$

Этап 5.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$5$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 2)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, - 6)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(3, 2), (3, - 6)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 3)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, - 7)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(3, 3), (3, - 7)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Этап 8.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Этап 8.3.3

Добавим $16$ и $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Этап 8.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Этап 8.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{4}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{3^{2}}{5}$

Этап 9.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9}{5}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Этап 11.2

Упростим $\frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Этап 11.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Этап 11.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 x}{3} + 4 \cdot - 1 - 2$

Этап 11.2.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 4 - 2$

Этап 11.2.2

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 6$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Этап 12.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot - 3 - 2$

Этап 12.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Этап 12.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Этап 12.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 \cdot - 1 - 2$

Этап 12.2.1.5

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 - 2$

Этап 12.2.1.6

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 4 - 2$

Этап 12.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{4 x}{3} - 6, y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(3, - 2)$

Вершины: $(3, 2), (3, - 6)$

Фокусы: $(3, 3), (3, - 7)$

Эксцентриситет: $\frac{5}{4}$

Фокальный параметр: $\frac{9}{5}$

Асимптоты: $y = \frac{4 x}{3} - 6$ , $y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Этап 15