Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{20} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{20} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 4$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{16 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{16 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{16 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{16 + 4 \cdot 5^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{16 + 4 \cdot 5}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\sqrt{16 + 20}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $16$ и $20$ .

$\sqrt{36}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$6$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(4, 0), (- 4, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(6, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 6, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(6, 0), (- 6, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{4}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4 {\sqrt{5}}^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4}$

Этап 8.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}}{4}$

Этап 8.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{16 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}}{4}$

Этап 8.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{16 + 4 \cdot 5^{1}}}{4}$

Этап 8.3.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{16 + 4 \cdot 5}}{4}$

Этап 8.3.1.5

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{16 + 20}}{4}$

Этап 8.3.1.6

Добавим $16$ и $20$ .

$\frac{\sqrt{36}}{4}$

Этап 8.3.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6}{4}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{2 {\sqrt{5}}^{2}}{6}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {\sqrt{5}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{5}}^{2})}{6}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 {\sqrt{5}}^{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {\sqrt{5}}^{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 9.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3}$

Этап 9.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Этап 9.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Этап 9.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3}$

Этап 9.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3}$

Этап 9.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5^{1}}{3}$

Этап 9.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5}{3}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x + 0$

Этап 11

Упростим $\frac{\sqrt{5}}{2} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $\frac{\sqrt{5}}{2} x$ и $0$ .

$y = \frac{\sqrt{5}}{2} x$

Этап 11.2

Объединим $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{2}$

Этап 12

Упростим $- \frac{\sqrt{5}}{2} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- \frac{\sqrt{5}}{2} x$ и $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{5}}{2} x$

Этап 12.2

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{5}}{2}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{2}, y = - \frac{x \sqrt{5}}{2}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(4, 0), (- 4, 0)$

Фокусы: $(6, 0), (- 6, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{3}{2}$

Фокальный параметр: $\frac{5}{3}$

Асимптоты: $y = \frac{\sqrt{5} x}{2}$ , $y = - \frac{x \sqrt{5}}{2}$

Этап 15