Основы мат. анализа Примеры

$(2, \frac{5 π}{4})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{5 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{4 + {(\frac{5 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{5 π}{4}$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{{(5 π)}^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $5 π$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{5^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 + \frac{5^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{25 π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Объединим $4$ и $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 16 + 25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2

Умножим $4$ на $16$ .

$r = \sqrt{\frac{64 + 25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{64 + 25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Перепишем $\sqrt{\frac{64 + 25 π^{2}}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $\frac{5 π}{8}$ равна $θ = 63.01044615 °$ .

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = 63.01044615 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}, 63.01044615 °)$