Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} + 6 y - 2 x + 13 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 y - 2 x + 13 = - y^{2}$

Этап 1.1.1.2

Вычтем $6 y$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x + 13 = - y^{2} - 6 y$

Этап 1.1.1.3

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (1)} + \frac{- 13}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 1} + \frac{- 13}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{3 y}{1} + \frac{- 13}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.4

Разделим $3 y$ на $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{- 13}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{13}{2}$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{13}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{13}{2}$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{2}{2}}$

Этап 1.2.3.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$d = \frac{3}{1}$

Этап 1.2.3.2.3

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{3^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{\frac{4}{2}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $4$ на $2$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 1.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{13 - 9}{2}$

Этап 1.2.4.2.3

Вычтем $9$ из $13$ .

$e = \frac{4}{2}$

Этап 1.2.4.2.4

Разделим $4$ на $2$ .

$e = 2$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$ .

$\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 3)}^{2} + 2$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 3$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(2, - 3)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 5.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = - 3$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(2, - 3)$

Фокус: $(\frac{5}{2}, - 3)$

Ось симметрии: $y = - 3$

Директриса: $x = \frac{3}{2}$

Этап 10