Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{x}{x - 4}) + \ln (\frac{x + 4}{x}) - \ln (x^{2} - 16)$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x}) - \ln (x^{2} - 16)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x}}{x^{2} - 16})$

Этап 3

Умножим $\frac{x}{x - 4}$ на $\frac{x + 4}{x}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}}{x^{2} - 16})$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}}{x^{2} - 4^{2}})$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}}{(x + 4) (x - 4)})$

Этап 5

Сократим выражение $\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}}{(x + 4) (x - 4)})$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{\frac{x + 4}{x - 4}}{(x + 4) (x - 4)})$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{x + 4}{x - 4} \cdot \frac{1}{(x + 4) (x - 4)})$

Этап 7

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x + 4}{x - 4} \cdot \frac{1}{(x + 4) (x - 4)})$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{1}{x - 4})$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{x - 4}$ на $\frac{1}{x - 4}$ .

$\ln (\frac{1}{(x - 4) (x - 4)})$

Этап 9

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 4)}^{1} (x - 4)})$

Этап 10

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1}})$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{1}{{(x - 4)}^{1 + 1}})$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 4)}^{2}})$