Основы мат. анализа Примеры

${(x + 2)}^{3} - 8$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = {(y + 2)}^{3} - 8$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде ${(y + 2)}^{3} - 8 = x$ .

${(y + 2)}^{3} - 8 = x$

Этап 2.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

${(y + 2)}^{3} = x + 8$

Этап 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 2 = \sqrt[3]{x + 8}$

Этап 2.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = \sqrt[3]{x + 8} - 2$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8} - 2$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8} - 2$ обратной к $f (x) = {(x + 2)}^{3} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = \sqrt[3]{({(x + 2)}^{3} - 8) + 8} - 2$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $\sqrt[3]{({(x + 2)}^{3} - 8) + 8} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = \sqrt[3]{{(x + 2)}^{3} + 0} - 2$

Этап 4.2.3.2

Добавим ${(x + 2)}^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = \sqrt[3]{{(x + 2)}^{3}} - 2$

Этап 4.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = x + 2 - 2$

Этап 4.2.5

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = x + 0$

Этап 4.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x + 2)}^{3} - 8) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{x + 8} - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {((\sqrt[3]{x + 8} - 2) + 2)}^{3} - 8$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в ${((\sqrt[3]{x + 8} - 2) + 2)}^{3} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {(\sqrt[3]{x + 8} + 0)}^{3} - 8$

Этап 4.3.3.2

Добавим $\sqrt[3]{x + 8}$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {\sqrt[3]{x + 8}}^{3} - 8$

Этап 4.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ в виде $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 8}$ в виде ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 8$

Этап 4.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 8$

Этап 4.3.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {(x + 8)}^{\frac{3}{3}} - 8$

Этап 4.3.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = {(x + 8)}^{\frac{3}{3}} - 8$

Этап 4.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = (x + 8) - 8$

Этап 4.3.4.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = x + 8 - 8$

Этап 4.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 8 - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = x + 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x + 8} - 2) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8} - 2$ — обратная к $f (x) = {(x + 2)}^{3} - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8} - 2$