Основы мат. анализа Примеры

$\tan (\frac{π}{12})$

Этап 1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 2

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 4

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 5

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 6

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 7

Упростим $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 7.1.2

Объединим.

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 7.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 7.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 7.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Этап 7.6

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 7.7

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Этап 7.8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.9

Упростим.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.10.2

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Этап 7.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Этап 7.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Этап 7.11

Перепишем ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.12

Развернем $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.13.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.13.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.13.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.13.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.13.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.13.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Этап 7.13.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Этап 7.13.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Этап 7.13.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Этап 7.13.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Этап 7.13.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 7.13.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 7.13.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Этап 7.13.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Этап 7.13.2

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.13.3

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.14

Сократим общий множитель $12 - 6 \sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.14.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.14.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.14.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Этап 7.14.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Этап 7.14.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Этап 7.14.4.4

Разделим $2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$0.26794919 \dots$