Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 49$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = 49 - x^{2}$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{49 - x^{2}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{49 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{7^{2} - x^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 7$ и $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Этап 6.2

Приравняем $7 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $7 + x$ к $0$ .

$7 + x = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 6.3

Приравняем $7 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $7 - x$ к $0$ .

$7 - x = 0$

Этап 6.3.2

Решим $7 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 7$

Этап 6.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$x = 7$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 7, 7$

Этап 6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Этап 6.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 6.6.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Этап 6.6.1.3

Левая часть $- 51$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.6.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Этап 6.6.2.3

Левая часть $49$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.6.3

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 6.6.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Этап 6.6.3.3

Левая часть $- 51$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Ложь

$- 7 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < - 7$ Ложь

$- 7 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 7 \leq x \leq 7$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 7, 7]$

Обозначение построения множества:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Этап 8

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 7, 7]$

Обозначение построения множества:

${y | - 7 \leq y \leq 7}$

Этап 9

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 7, 7], {x | - 7 \leq x \leq 7}$

Диапазон: $[- 7, 7], {y | - 7 \leq y \leq 7}$

Этап 10