Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 5$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $3 x^{2} - 2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = - 2$

$c = - 5$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 3}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{3}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{3}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 5 - \frac{4}{4 \cdot 3}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = - 5 - \frac{4}{12}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$e = - 5 - \frac{4 (1)}{12}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 5 - \frac{1}{3}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 1.1.1.4.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 1.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 5 \cdot 3 - 1}{3}$

Этап 1.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.5.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$e = \frac{- 15 - 1}{3}$

Этап 1.1.1.4.2.5.2

Вычтем $1$ из $- 15$ .

$e = \frac{- 16}{3}$

Этап 1.1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{16}{3}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$ .

$3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 3$

$h = \frac{1}{3}$

$k = - \frac{16}{3}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Этап 1.5.3

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{1}{12}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{65}{12}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

Фокус: $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{3}$

Директриса: $y = - \frac{65}{12}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

Фокус: $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{3}$

Директриса: $y = - \frac{65}{12}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 5$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 - 5$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- 1) = 3 - 2 \cdot - 1 - 5$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 3 + 2 - 5$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $3$ и $2$ .

$f (- 1) = 5 - 5$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (- 1) = 0$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 5$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 - 5$

Этап 2.5.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- 2) = 12 - 2 \cdot - 2 - 5$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 12 + 4 - 5$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $12$ и $4$ .

$f (- 2) = 16 - 5$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $5$ из $16$ .

$f (- 2) = 11$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $11$ .

$11$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $11$ .

$y = 11$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 5$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 5$

Этап 2.8.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1 - 5$

Этап 2.8.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 2 - 5$

Этап 2.8.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (1) = 1 - 5$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$f (1) = - 4$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 5$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 5$

Этап 2.11.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (2) = 12 - 2 \cdot 2 - 5$

Этап 2.11.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (2) = 12 - 4 - 5$

Этап 2.11.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $4$ из $12$ .

$f (2) = 8 - 5$

Этап 2.11.2.2

Вычтем $5$ из $8$ .

$f (2) = 3$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 1 & - 4 \\ 2 & 3 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

Фокус: $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{3}$

Директриса: $y = - \frac{65}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 1 & - 4 \\ 2 & 3 \end{array}$

Этап 4