Основы мат. анализа Примеры

$y = 4 \sin (3 x - \frac{1}{3} \cdot π) + 1$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 4$

$b = 3$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 1$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $4$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $4 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 3.2

Найдем период $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$\frac{2 π}{3}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{\frac{π}{3}}{3}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π}{3 \cdot 3}$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π}{9}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $4$

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = \frac{π}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{9}$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.1.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.1.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.1.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π - π}{3}) + 1$

Этап 6.1.2.1.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{0}{3}) + 1$

Этап 6.1.2.1.4

Разделим $0$ на $3$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Этап 6.1.2.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Этап 6.1.2.1.6

Умножим $4$ на $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 0 + 1$

Этап 6.1.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{π}{9}) = 1$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{18}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.2.2.1.2

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Этап 6.2.2.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Этап 6.2.2.1.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Этап 6.2.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Этап 6.2.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - 2 π}{6}) + 1$

Этап 6.2.2.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{6}) + 1$

Этап 6.2.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (π)}{6}) + 1$

Этап 6.2.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Этап 6.2.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Этап 6.2.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) + 1$

Этап 6.2.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \cdot 1 + 1$

Этап 6.2.2.1.8

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 + 1$

Этап 6.2.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 5$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{4 π}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 π}{9}$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.3.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π - π}{3}) + 1$

Этап 6.3.2.1.3

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Этап 6.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Этап 6.3.2.1.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (π) + 1$

Этап 6.3.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Этап 6.3.2.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Этап 6.3.2.1.7

Умножим $4$ на $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 0 + 1$

Этап 6.3.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 1$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{11 π}{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{11 π}{18}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.4.2.1.2

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Этап 6.4.2.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Этап 6.4.2.1.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Этап 6.4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Этап 6.4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - 2 π}{6}) + 1$

Этап 6.4.2.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{9 π}{6}) + 1$

Этап 6.4.2.1.6

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{6}) + 1$

Этап 6.4.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 1$

Этап 6.4.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 1$

Этап 6.4.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

Этап 6.4.2.1.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

Этап 6.4.2.1.8

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- 1 \cdot 1) + 1$

Этап 6.4.2.1.9

Умножим $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \cdot - 1 + 1$

Этап 6.4.2.1.9.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 4 + 1$

Этап 6.4.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 3$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{7 π}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{9}$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Этап 6.5.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π - π}{3}) + 1$

Этап 6.5.2.1.3

Вычтем $π$ из $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{6 π}{3}) + 1$

Этап 6.5.2.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3}) + 1$

Этап 6.5.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)}) + 1$

Этап 6.5.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}) + 1$

Этап 6.5.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{2 π}{1}) + 1$

Этап 6.5.2.1.4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (2 π) + 1$

Этап 6.5.2.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Этап 6.5.2.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Этап 6.5.2.1.7

Умножим $4$ на $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 0 + 1$

Этап 6.5.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 1$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $4$

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Этап 8