Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 2.1.1.3.2.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим $4$ на $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.3

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.5.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.5.2

Вычтем $1$ из $- 12$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{13}{2}$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(1, - \frac{13}{2})$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.5.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, - 6)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 1$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - 7$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(1, - \frac{13}{2})$

Фокус: $(1, - 6)$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - 7$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(1, - \frac{13}{2})$

Фокус: $(1, - 6)$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - 7$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Запишем $- (0)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

Этап 3.2.1.2

Умножим $\frac{- (0)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Этап 3.2.1.3

Умножим $\frac{- (0)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

Этап 3.2.1.4

Запишем $- 6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Этап 3.2.1.5

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.1.6

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.3.2

Умножим $- (0) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.3.2.2

Умножим $0$ на $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.3.3

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

Этап 3.2.4.3

Разделим $- 12$ на $2$ .

$f (0) = - 6$

Этап 3.2.5

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = 0$ равно $- 6$ .

$y = - 6$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Запишем $- (- 1)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

Этап 3.5.1.2

Умножим $\frac{- (- 1)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Этап 3.5.1.3

Умножим $\frac{- (- 1)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

Этап 3.5.1.4

Запишем $- 6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.5.1.6

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.5.3.2

Умножим $- (- 1) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.5.3.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.5.3.3

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

Этап 3.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

Этап 3.5.4.2

Вычтем $12$ из $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

Этап 3.5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

Этап 3.5.5

Окончательный ответ: $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Запишем $- (2)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

Этап 3.8.1.2

Умножим $\frac{- (2)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Этап 3.8.1.3

Умножим $\frac{- (2)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

Этап 3.8.1.4

Запишем $- 6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Этап 3.8.1.5

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.8.1.6

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.8.3.2

Умножим $- (2) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.8.3.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.8.3.3

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

Этап 3.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

Этап 3.8.4.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

Этап 3.8.4.3

Разделим $- 12$ на $2$ .

$f (2) = - 6$

Этап 3.8.5

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 2$ равно $- 6$ .

$y = - 6$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Запишем $- (4)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

Этап 3.11.1.2

Умножим $\frac{- (4)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Этап 3.11.1.3

Умножим $\frac{- (4)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

Этап 3.11.1.4

Запишем $- 6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Этап 3.11.1.5

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.11.1.6

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.11.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.11.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.11.3.2

Умножим $- (4) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.11.3.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.11.3.3

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

Этап 3.11.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Вычтем $8$ из $16$ .

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

Этап 3.11.4.2

Вычтем $12$ из $8$ .

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

Этап 3.11.4.3

Разделим $- 4$ на $2$ .

$f (4) = - 2$

Этап 3.11.5

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 4$ равно $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(1, - \frac{13}{2})$

Фокус: $(1, - 6)$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Этап 5