Основы мат. анализа Примеры

$y = - \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{3} x)$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $\frac{1}{3}$

Этап 3

Найдем период $- \frac{\cos (\frac{x}{3})}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 3.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 3$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $2$ .

$6 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{1}{3}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 \cdot 3$

Этап 4.4

Умножим $0$ на $3$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $\frac{1}{3}$

Период: $6 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{0}{3})}{3}$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 (0)}{3})}{3}$

Этап 6.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}$

Этап 6.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}$

Этап 6.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{0}{1})}{3}$

Этап 6.1.2.1.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$f (0) = - \frac{\cos (0)}{3}$

Этап 6.1.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 6.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 6.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{3}$

Этап 6.2.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{0}{3}$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Разделим $0$ на $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 0$

Этап 6.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3 π$ .

$f (3 π) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{3})}{3}$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (3 π) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{3})}{3}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (3 π) = - \frac{\cos (π)}{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (3 π) = - \frac{- \cos (0)}{3}$

Этап 6.3.2.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (3 π) = - \frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Этап 6.3.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (3 π) = - \frac{- 1}{3}$

Этап 6.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (3 π) = \frac{1}{3}$

Этап 6.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{9 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9 π}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{3}$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 6.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 6.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{3}$

Этап 6.4.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{3}$

Этап 6.4.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - \frac{0}{3}$

Этап 6.4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим $0$ на $3$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 0$

Этап 6.4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 0$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6 π$ .

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{6 π}{3})}{3}$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{3 (2 π)}{3})}{3}$

Этап 6.5.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})}{3}$

Этап 6.5.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})}{3}$

Этап 6.5.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (6 π) = - \frac{\cos (\frac{2 π}{1})}{3}$

Этап 6.5.2.1.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (6 π) = - \frac{\cos (2 π)}{3}$

Этап 6.5.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (6 π) = - \frac{\cos (0)}{3}$

Этап 6.5.2.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (6 π) = - \frac{1}{3}$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{1}{3} \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 3 π & \frac{1}{3} \\ \frac{9 π}{2} & 0 \\ 6 π & - \frac{1}{3} \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $\frac{1}{3}$

Период: $6 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{1}{3} \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 3 π & \frac{1}{3} \\ \frac{9 π}{2} & 0 \\ 6 π & - \frac{1}{3} \end{array}$

Этап 8