Основы мат. анализа Примеры

${(2 x + 1)}^{4}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(2 x + 1)}^{4}$ $n = 4$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $5$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $2 x$ и $b$ $1$ в выражение.

$1 {(2 x)}^{4} {(1)}^{0} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.1.2

Умножим ${(1)}^{0}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1^{0 + 1} {(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$1^{1} {(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.2

Упростим $1^{1} {(2 x)}^{4}$ .

${(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2^{4} x^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 x^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 4 (2^{3} x^{3}) {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 x^{4} + 4 (8 x^{3}) {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.7

Умножим $8$ на $4$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.8

Найдем экспоненту.

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot 1 + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.9

Умножим $32$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 6 (2^{2} x^{2}) {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 6 (4 x^{2}) {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.12

Умножим $4$ на $6$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.13

Единица в любой степени равна единице.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} \cdot 1 + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.14

Умножим $24$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.15

Упростим.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 4 (2 x) {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.16

Умножим $2$ на $4$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.17

Единица в любой степени равна единице.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.18

Умножим $8$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.19

Умножим $1$ на ${(1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Перенесем ${(1)}^{4}$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + {(1)}^{4} \cdot 1 {(2 x)}^{0}$

Этап 4.19.2

Умножим ${(1)}^{4}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} {(2 x)}^{0}$

Этап 4.19.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1^{4 + 1} {(2 x)}^{0}$

Этап 4.19.3

Добавим $4$ и $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1^{5} {(2 x)}^{0}$

Этап 4.20

Упростим $1^{5} {(2 x)}^{0}$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1^{5}$

Этап 4.21

Единица в любой степени равна единице.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1$