Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} = \frac{1}{2} x$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} x = y^{2}$ .

$\frac{1}{2} x = y^{2}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x) = 2 y^{2}$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 y^{2}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 y^{2}$

Этап 3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 y^{2}$

Этап 4

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Составим полный квадрат для $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 0$

$c = 0$

Этап 4.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (2)}$

Этап 4.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{2}$

Этап 4.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2}$

Этап 4.1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{1}$

Этап 4.1.1.3.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$d = 0$

Этап 4.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 4.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 2}$

Этап 4.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{8}$

Этап 4.1.1.4.2.1.3

Разделим $0$ на $8$ .

$e = 0 - 0$

Этап 4.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 0 + 0$

Этап 4.1.1.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$e = 0$

Этап 4.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 y^{2}$ .

$2 y^{2}$

Этап 4.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = 2 y^{2}$

Этап 4.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 2$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 4.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 4.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Этап 4.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 4.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 4.5.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 4.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 4.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{8}, 0)$

Этап 4.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 0$

Этап 4.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 4.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{1}{8}$

Этап 4.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(\frac{1}{8}, 0)$

Ось симметрии: $y = 0$

Директриса: $x = - \frac{1}{8}$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(\frac{1}{8}, 0)$

Ось симметрии: $y = 0$

Директриса: $x = - \frac{1}{8}$

Этап 5

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . В данном случае получится точка $(1, 0.70710678)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.1.3

Преобразуем $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в десятичное представление.

$= 0.70710678$

Этап 5.2

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . В данном случае получится точка $(1, - 0.70710678)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.3

Преобразуем $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в десятичное представление.

$= - 0.70710678$

Этап 5.3

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . В данном случае получится точка $(2, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Этап 5.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{4}}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (2) = \frac{2}{2}$

Этап 5.3.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$f (2) = 1$

Этап 5.3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 5.3.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$= 1$

Этап 5.4

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . В данном случае получится точка $(2, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Этап 5.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{4}}{2}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Этап 5.4.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Этап 5.4.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (2) = - 1 \cdot 1$

Этап 5.4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (2) = - 1$

Этап 5.4.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 5.4.3

Преобразуем $- 1$ в десятичное представление.

$= - 1$

Этап 5.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Этап 6

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(\frac{1}{8}, 0)$

Ось симметрии: $y = 0$

Директриса: $x = - \frac{1}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Этап 7