Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y - 9 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $256$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Этап 1.3

Подставим $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ вместо $4 x^{2} - 16 x$ в уравнение $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - y^{2} - 6 y = 9$

Этап 1.4

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$4 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = 9 + 16$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- y^{2} - 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 3$ в виде $- - 3$ .

$d = - - 3$

Этап 1.5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$d = 3$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $36$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$e = 9$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Этап 1.6

Подставим $- {(y + 3)}^{2} + 9$ вместо $- y^{2} - 6 y$ в уравнение $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = 9 + 16$

Этап 1.7

Перенесем $9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9 + 16 - 9$

Этап 1.8

Упростим $9 + 16 - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $9$ и $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 25 - 9$

Этап 1.8.2

Вычтем $9$ из $25$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 16$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $16$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = - 3$

$h = 2$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(2, - 3)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

Этап 5.3.3

Добавим $4$ и $16$ .

$\sqrt{20}$

Этап 5.3.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - 3)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - 3)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(4, - 3), (0, - 3)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

Этап 8.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 8.3.2.2

Разделим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$\sqrt{5}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3.3

Умножим $\frac{8}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 9.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 9.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 9.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Этап 11.2

Упростим $2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = 2 \cdot (x - 2) - 3$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2 - 3$

Этап 11.2.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = 2 x - 4 - 3$

Этап 11.2.2

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$y = 2 x - 7$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Этап 12.2

Упростим $- 2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - 2 \cdot (x - 2) - 3$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 2 - 3$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = - 2 x + 4 - 3$

Этап 12.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$y = - 2 x + 1$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = 2 x - 7, y = - 2 x + 1$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(2, - 3)$

Вершины: $(4, - 3), (0, - 3)$

Фокусы: $(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Эксцентриситет: $\sqrt{5}$

Фокальный параметр: $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Асимптоты: $y = 2 x - 7$ , $y = - 2 x + 1$

Этап 15