Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = | x^{2} - 4 |$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = | x^{2} - 4 |$ . В данном случае получится точка $(- 2, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | {(- 2)}^{2} - 4 |$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = | 4 - 4 |$

Этап 2.1.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (- 2) = | 0 |$

Этап 2.1.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$f (- 2) = 0$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = | x^{2} - 4 |$ . В данном случае получится точка $(- 1, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | {(- 1)}^{2} - 4 |$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = | 1 - 4 |$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (- 1) = | - 3 |$

Этап 2.2.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$f (- 1) = 3$

Этап 2.2.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = | x^{2} - 4 |$ . В данном случае получится точка $(0, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | {(0)}^{2} - 4 |$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = | 0 - 4 |$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$f (0) = | - 4 |$

Этап 2.3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 4$ и $0$ равно $4$ .

$f (0) = 4$

Этап 2.3.2.4

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = | x^{2} - 4 |$ . В данном случае получится точка $(1, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = | {(1)}^{2} - 4 |$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = | 1 - 4 |$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (1) = | - 3 |$

Этап 2.4.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$f (1) = 3$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 2.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 2, 0), (- 1, 3), (0, 4), (1, 3)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 4 \\ 1 & 3 \end{array}$

Этап 3