Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \sqrt{6}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{6^{1} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{6 + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{6 + 16}$

Этап 5.3.2.2

Добавим $6$ и $16$ .

$\sqrt{22}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\sqrt{6}, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \sqrt{6}, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\sqrt{22}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \sqrt{22}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6^{1} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{6 + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{6 + 16}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $6$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.2

Объединим $\sqrt{22}$ и $\sqrt{6}$ под одним знаком корня.

$\sqrt{\frac{22}{6}}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $22$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $22$ .

$\sqrt{\frac{2 (11)}{6}}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{11}{3}}$

Этап 8.3.4

Перепишем $\sqrt{\frac{11}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.5

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.6.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.6.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.3.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.6.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.3.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Этап 8.3.7.2

Умножим $11$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{33}}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{4^{2}}{\sqrt{22}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{16}{\sqrt{22}}$ на $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}} \cdot \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{16}{\sqrt{22}}$ на $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{\sqrt{22} \sqrt{22}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{22}$ в степень $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} \sqrt{22}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{22}$ в степень $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} {\sqrt{22}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{22}}^{2}$ в виде $22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{22}$ в виде $22^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22}$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $16$ и $22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16 \sqrt{22}$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{22}$

Этап 9.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $22$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 (11)}$

Этап 9.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 \cdot 11}$

Этап 9.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$

Этап 11

Упростим $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ и $0$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Этап 11.2

Объединим $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$

Этап 12

Упростим $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ и $0$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Этап 12.2

Объединим $x$ и $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$y = - \frac{x (2 \sqrt{6})}{3}$

Этап 12.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}, y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Фокусы: $(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{33}}{3}$

Фокальный параметр: $\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Асимптоты: $y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$ , $y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Этап 15