Основы мат. анализа Примеры

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y - 44 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $44$ к обеим частям уравнения.

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $25 x^{2} - 100 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 50}{25}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 50$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 100$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $10000$ на $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $100$ .

$e = 0 - 100$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $100$ из $0$ .

$e = - 100$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Этап 1.3

Подставим $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ вместо $25 x^{2} - 100 x$ в уравнение $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + 9 y^{2} + 54 y = 44$

Этап 1.4

Перенесем $- 100$ в правую часть уравнения, прибавив $100$ к обеим частям.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = 44 + 100$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $9 y^{2} + 54 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{27}{9}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $27$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $54$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $2916$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $81$ .

$e = 0 - 81$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $81$ из $0$ .

$e = - 81$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Этап 1.6

Подставим $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ вместо $9 y^{2} + 54 y$ в уравнение $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = 44 + 100$

Этап 1.7

Перенесем $- 81$ в правую часть уравнения, прибавив $81$ к обеим частям.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 44 + 100 + 81$

Этап 1.8

Упростим $44 + 100 + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $44$ и $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 144 + 81$

Этап 1.8.2

Добавим $144$ и $81$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 225$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $225$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(2, - 3)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\sqrt{25 - 9}$

Этап 5.3.4

Вычтем $9$ из $25$ .

$\sqrt{16}$

Этап 5.3.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(2, - 3 + 5)$

Этап 6.3

Упростим.

$(2, 2)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(2, - 3 - (5))$

Этап 6.6

Упростим.

$(2, - 8)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(2, - 3 + 4)$

Этап 7.3

Упростим.

$(2, 1)$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(2, - 3 - (4))$

Этап 7.6

Упростим.

$(2, - 7)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

Этап 8.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

Этап 8.3.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

Этап 8.3.4

Вычтем $9$ из $25$ .

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

Этап 8.3.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

Этап 8.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4}{5}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

Эксцентриситет: $\frac{4}{5}$

Этап 10