Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[3]{16}})$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[3]{8 (2)}})$

Этап 1.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}})$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{4} (\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}})$

Этап 2

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Этап 3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Этап 3.2

Перенесем $\sqrt[3]{2}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 (\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2})})$

Этап 3.3

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2})})$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{2}}^{3}})$

Этап 3.6

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Этап 3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Этап 3.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3}{3}}})$

Этап 3.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3}{3}}})$

Этап 3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{1}})$

Этап 3.6.5

Найдем экспоненту.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2 \cdot 2})$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt[3]{4}}{2 \cdot 2})$

Этап 5

Умножим $2$ на $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt[3]{4}}{4})$

Этап 6

Перепишем $\frac{\sqrt[3]{4}}{4}$ в виде $\sqrt[3]{4} \cdot 4^{- 1}$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4} \cdot 4^{- 1})$

Этап 7

Перепишем $\log_{4} (\sqrt[3]{4} \cdot 4^{- 1})$ в виде $\log_{4} (\sqrt[3]{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$

Этап 8

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) - \log_{4} (4)$

Этап 9

Логарифм $4$ по основанию $4$ равен $1$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) - 1 \cdot 1$

Этап 10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) - 1$

Этап 11

Перепишем $\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Этап 11.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{4})}{\log (4)} - 1$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (\sqrt[3]{4})}{\log (4)} - 1$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{6}$