Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{i = 1}^{8} 7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{7 {(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{7 {(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}$ и ${(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ из ${(\frac{7}{10})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{10})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $i$ и $0$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - (i - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - i - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{i - i + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{7}{10})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = \frac{7}{10}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $7 {(\frac{7}{10})}^{i - 1}$ .

$a = 7 {(\frac{7}{10})}^{1 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 7 {(\frac{7}{10})}^{0}$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{7}{10}$ .

$a = 7 \frac{7^{0}}{10^{0}}$

Этап 3.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 7 \frac{1}{10^{0}}$

Этап 3.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 7 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$a = 7 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.5.2

Перепишем это выражение.

$a = 7 \cdot 1$

Этап 3.2.6

Умножим $7$ на $1$ .

$a = 7$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$7 \frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}}$ на $\frac{10}{10}$ .

$7 (\frac{10}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{7}{10})}^{8}}{1 - \frac{7}{10}})$

Этап 5.1.2

Объединим.

$7 \frac{10 (1 - {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 (1 - \frac{7}{10})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (- \frac{7}{10})}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{10}$ в числитель.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 7}{10})}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 7}{10})}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$7 \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $10$ на $1$ .

$7 \frac{10 + 10 (- {(\frac{7}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{7}{10}$ .

$7 \frac{10 + 10 (- \frac{7^{8}}{10^{8}})}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.3

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7^{8}}{10^{8}}$ в числитель.

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10^{8}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $10$ из $10^{8}$ .

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.3.3

Сократим общий множитель.

$7 \frac{10 + 10 \frac{- 7^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.3.4

Перепишем это выражение.

$7 \frac{10 + \frac{- 7^{8}}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.4

Возведем $7$ в степень $8$ .

$7 \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 5764801}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.5

Возведем $10$ в степень $7$ .

$7 \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.6

Умножим $- 1$ на $5764801$ .

$7 \frac{10 + \frac{- 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 \frac{10 - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.8

Чтобы записать $10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10000000}{10000000}$ .

$7 \frac{10 \cdot \frac{10000000}{10000000} - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.9

Объединим $10$ и $\frac{10000000}{10000000}$ .

$7 \frac{\frac{10 \cdot 10000000}{10000000} - \frac{5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 \frac{\frac{10 \cdot 10000000 - 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.11.1

Умножим $10$ на $10000000$ .

$7 \frac{\frac{100000000 - 5764801}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.4.11.2

Вычтем $5764801$ из $100000000$ .

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{10 \cdot 1 - 7}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $10$ на $1$ .

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{10 - 7}$

Этап 5.5.2

Вычтем $7$ из $10$ .

$7 \frac{\frac{94235199}{10000000}}{3}$

Этап 5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$7 (\frac{94235199}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $3$ из $94235199$ .

$7 (\frac{3 (31411733)}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель.

$7 (\frac{3 \cdot 31411733}{10000000} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.7.3

Перепишем это выражение.

$7 (\frac{31411733}{10000000})$

Этап 5.8

Умножим $7 (\frac{31411733}{10000000})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Объединим $7$ и $\frac{31411733}{10000000}$ .

$\frac{7 \cdot 31411733}{10000000}$

Этап 5.8.2

Умножим $7$ на $31411733$ .

$\frac{219882131}{10000000}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{219882131}{10000000}$

Десятичная форма:

$21.9882131$

Форма смешанных чисел:

$21 \frac{9882131}{10000000}$