Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{1}{\sqrt{e^{7}}})$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $e^{7}$ в виде ${(e^{3})}^{2} e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем $e^{6}$ за скобки.

$\ln (\frac{1}{\sqrt{e^{6} e}})$

Этап 1.1.2

Перепишем $e^{6}$ в виде ${(e^{3})}^{2}$ .

$\ln (\frac{1}{\sqrt{{(e^{3})}^{2} e}})$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\ln (\frac{1}{e^{3} \sqrt{e}})$

Этап 2

Умножим $\frac{1}{e^{3} \sqrt{e}}$ на $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$\ln (\frac{1}{e^{3} \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}})$

Этап 3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{e^{3} \sqrt{e}}$ на $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} \sqrt{e} \sqrt{e}})$

Этап 3.2

Перенесем $\sqrt{e}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} (\sqrt{e} \sqrt{e})})$

Этап 3.3

Возведем $\sqrt{e}$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} ({\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e})})$

Этап 3.4

Возведем $\sqrt{e}$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} ({\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1})})$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} {\sqrt{e}}^{1 + 1}})$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} {\sqrt{e}}^{2}})$

Этап 3.7

Перепишем ${\sqrt{e}}^{2}$ в виде $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e}$ в виде $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} e^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} e^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} e^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} e^{1}})$

Этап 3.7.5

Упростим.

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} e})$

Этап 4

Умножим $e^{3}$ на $e$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $e^{3}$ на $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3} e^{1}})$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{3 + 1}})$

Этап 4.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{4}})$

Этап 5

Перенесем $e^{4}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (\sqrt{e} e^{- 4})$

Этап 6

Перепишем $\ln (\sqrt{e} e^{- 4})$ в виде $\ln (\sqrt{e}) + \ln (e^{- 4})$ .

$\ln (\sqrt{e}) + \ln (e^{- 4})$

Этап 7

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 4$ из степени.

$\ln (\sqrt{e}) - 4 \ln (e)$

Этап 8

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (\sqrt{e}) - 4 \cdot 1$

Этап 9

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\ln (\sqrt{e}) - 4$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\sqrt{e}) - 4$

Десятичная форма:

$- 3.5$