Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x) = \sec (x) \csc (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x)$

Этап 2

Запишем $\tan (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x)}{1}$

Этап 3

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $\frac{\tan (x)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\tan (x)}{1}$ на $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \tan (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Этап 4

Умножим $\tan (x) \tan (x)$ .

$\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Переставляем члены.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1}{\tan (x)}$

Этап 5.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Этап 6

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\tan (x)}$

Этап 6.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.2

Объединим.

$\frac{1^{2} \cos (x)}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ и ${\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $1^{2} \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 7.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 8

Перепишем $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ в виде $\sec (x) \csc (x)$ .

$\sec (x) \csc (x)$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x) = \sec (x) \csc (x)$ — тождество