Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\cot (x)}{\sec (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cot (x)}{\sec (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cot (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Этап 2.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Этап 2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 2.4

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 2.5.2

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Этап 2.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\csc (x) - \sin (x)$

Этап 5

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 6

Запишем $- \sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{1}$

Этап 7

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $\frac{- \sin (x)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{- \sin (x)}{1}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 8

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cot (x)}{\sec (x)} = \csc (x) - \sin (x)$ — тождество