Основы мат. анализа Примеры

$(\sqrt{3} + \sqrt{15 i}) (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$

Этап 1

Развернем $(\sqrt{3} + \sqrt{15 i}) (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3 + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.5

Умножим $\sqrt{3} (- \sqrt{15 i})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$3 - \sqrt{3 (15 i)} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.5.2

Умножим $3$ на $15$ .

$3 - \sqrt{45 i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.6

Перепишем $45 i$ в виде $3^{2} \cdot (5 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$3 - \sqrt{9 (5) i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.6.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot 5 i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.6.3

Добавим круглые скобки.

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot (5 i)} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 - (3 \sqrt{5 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{15 i \cdot 3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.10

Умножим $3$ на $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{45 i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.11

Перепишем $45 i$ в виде $3^{2} \cdot (5 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{9 (5) i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.11.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{3^{2} \cdot 5 i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.11.3

Добавим круглые скобки.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{3^{2} \cdot (5 i)} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.13

Умножим $\sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Возведем $\sqrt{15 i}$ в степень $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - ({\sqrt{15 i}}^{1} \sqrt{15 i})$

Этап 2.1.13.2

Возведем $\sqrt{15 i}$ в степень $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - ({\sqrt{15 i}}^{1} {\sqrt{15 i}}^{1})$

Этап 2.1.13.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {\sqrt{15 i}}^{1 + 1}$

Этап 2.1.13.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {\sqrt{15 i}}^{2}$

Этап 2.1.14

Перепишем ${\sqrt{15 i}}^{2}$ в виде $15 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15 i}$ в виде ${(15 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {({(15 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{1}$

Этап 2.1.14.5

Упростим.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - (15 i)$

Этап 2.1.15

Умножим $15$ на $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - 15 i$

Этап 2.2

Добавим $- 3 \sqrt{5 i}$ и $3 \sqrt{5 i}$ .

$3 + 0 - 15 i$

Этап 2.3

Добавим $3$ и $0$ .

$3 - 15 i$