Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x^{3} - x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x \cdot x^{2} - x}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x (x^{2} - 1)}$

Этап 1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Этап 1.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Этап 1.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x (x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.2

Разделим $3 x^{2} - 7 x - 2$ на $1$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.1.2

Разделим $A ((x + 1) (x - 1))$ на $1$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.5

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.6

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.7.2

Разделим $(B) (x (x - 1))$ на $1$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.9

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.10

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.11

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.12

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.14

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.14.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.8.14.2

Разделим $(C) (x (x + 1))$ на $1$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Этап 1.8.15

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Этап 1.8.16

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Этап 1.8.17

Умножим $x$ на $1$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Этап 1.8.18

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Этап 1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перенесем $B$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Этап 1.9.2

Перенесем $- A$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Этап 1.9.3

Перенесем $- x B$ .

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = A + B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 2 = - 1 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $- 2 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = - 2$ .

$- 1 A = - 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $3 = A + B + C$ на $2$ .

$3 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$3 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$3 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$3 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $3 = 2 + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 + B + C = 3$ .

$2 + B + C = 3$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$B + C = 3 - 2$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = 3 - 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $1 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 7 = - 1 B + C$ на $1 - C$ .

$- 7 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 1 (1 - C) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 7 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 7 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.4.2.1.1.3.2

Умножим $C$ на $1$ .

$- 7 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $C$ и $C$ .

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.5

Решим относительно $C$ в $- 7 = - 1 + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + 2 C = - 7$ .

$- 1 + 2 C = - 7$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 C = - 7 + 1$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.5.2.2

Добавим $- 7$ и $1$ .

$2 C = - 6$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$2 C = - 6$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $2 C = - 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $2 C = - 6$ на $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $- 6$ на $2$ .

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $C$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = 1 - C$ на $- 3$ .

$B = 1 - (- 3)$

$C = - 3$

$A = 2$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $1 - (- 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$B = 1 + 3$

$C = - 3$

$A = 2$

Этап 3.6.2.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$B = 4, C = - 3, A = 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{4}{x + 1} + \frac{- 3}{x - 1}$