Основы мат. анализа Примеры

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

Этап 2.1.2

Развернем $(x - 2) (9 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Этап 2.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Этап 2.1.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $9$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

Этап 2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

Этап 2.1.3.2

Добавим $9 x$ и $2 x$ .

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

Этап 2.2

Перепишем $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ .

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

Этап 2.3.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

Этап 2.3.3

Вычтем $10$ из $- 18$ .

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

Этап 2.3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $11 x - x^{2} - 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Изменим порядок $11 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Этап 2.3.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

Этап 2.3.4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

Этап 2.3.4.1.4

Перепишем $- 28$ в виде $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Этап 2.3.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Этап 2.3.4.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

Этап 2.3.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Разложим $x^{2} - 11 x + 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $28$ , а сумма — $- 11$ .

$- 7, - 4$

Этап 2.3.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

Этап 2.3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

Этап 2.3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.6

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 2.3.6.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.3.7

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 7) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 7, 4$

Этап 3

Найдем область определения $\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (11 x - x^{2} - 18)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

Этап 3.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $11 x - x^{2} - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Изменим порядок $11 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

Этап 3.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

Этап 3.2.2.1.4

Перепишем $- 18$ в виде $- 1 (18)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Этап 3.2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Этап 3.2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

Этап 3.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 11 x + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $- 11$ .

$- 9, - 2$

Этап 3.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

Этап 3.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

Этап 3.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.2.4

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 3.2.4.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 3.2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 9) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 9, 2$

Этап 3.2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

Этап 3.2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.2.8.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

Этап 3.2.8.1.3

Левая часть $- 18$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.2.8.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 3.2.8.2.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

Этап 3.2.8.2.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 3.2.8.3.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

Этап 3.2.8.3.3

Левая часть $- 30$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

Этап 3.2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 9$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(2, 9)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

Этап 5.2.3

Левая часть $0.77815125$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $4 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

Этап 5.3.3

Левая часть $1.07918124$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $7 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $7 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

Этап 5.4.3

Левая часть $0.77815125$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.5

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 5.5.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

Этап 5.5.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.5.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$4 < x < 7$ Ложь

$7 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$4 < x < 7$ Ложь

$7 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 4$ или $7 < x < 9$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

Интервальное представление:

$(2, 4) \cup (7, 9)$

Этап 8