Основы мат. анализа Примеры

$9^{x^{2}} \cdot 3^{7 x} = 81$

Этап 1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

${(3^{2})}^{x^{2}} \cdot 3^{7 x} = 81$

Этап 2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{2 x^{2}} \cdot 3^{7 x} = 81$

Этап 3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3^{2 x^{2} + 7 x} = 81$

Этап 4

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{2 x^{2} + 7 x} = 3^{4}$

Этап 5

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$2 x^{2} + 7 x = 4$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$

Этап 6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 4 = 0$

Этап 6.2.1.2

Запишем $7$ как $- 1$ плюс $8$

$2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4 = 0$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4 = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4 = 0$

Этап 6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1) = 0$

Этап 6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 4) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 6.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Десятичная форма:

$x = 0.5, - 4$