Основы мат. анализа Примеры

$2 x - 5 = \sqrt{x + 4}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{x + 4} = 2 x - 5$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 4}}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 4)}^{1} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x + 4 = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 5)}^{2}$ в виде $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$x + 4 = (2 x - 5) (2 x - 5)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(2 x - 5) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 = 2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 4 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x + 4 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 4 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x + 4 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$x + 4 = 4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$x + 4 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$x + 4 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$x + 4 = 4 x^{2} - 20 x + 25$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 20 x + 25 = x + 4$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x = 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $- 20 x$ .

$4 x^{2} - 21 x + 25 = 4$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 21 x + 25 - 4 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$4 x^{2} - 21 x + 21 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 21$ и $c = 21$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 21)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 21$ в степень $2$ .

$x = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 16$ на $21$ .

$x = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 336}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $336$ из $441$ .

$x = \frac{21 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{21 \pm \sqrt{105}}{8}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{21 + \sqrt{105}}{8}, \frac{21 - \sqrt{105}}{8}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 x - 5 = \sqrt{x + 4}$ истинным.

$x = \frac{21 + \sqrt{105}}{8}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{21 + \sqrt{105}}{8}$

Десятичная форма:

$x = 3.90586884 \dots$