Основы мат. анализа Примеры

$2 \sqrt{x + 1} - \sqrt{2 x + 3} = 1$

Этап 1

Добавим $\sqrt{2 x + 3}$ к обеим частям уравнения.

$2 \sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{2 x + 3}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 1) = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 1 = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$4 x + 4 = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{2 x + 3}) (1 + \sqrt{2 x + 3})$ .

$4 x + 4 = (1 + \sqrt{2 x + 3}) (1 + \sqrt{2 x + 3})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{2 x + 3}) (1 + \sqrt{2 x + 3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 = 1 (1 + \sqrt{2 x + 3}) + \sqrt{2 x + 3} (1 + \sqrt{2 x + 3})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} (1 + \sqrt{2 x + 3})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \cdot 1 + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$4 x + 4 = 1 + 1 \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \cdot 1 + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{2 x + 3}$ на $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \cdot 1 + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{2 x + 3}$ на $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{2 x + 3}$ в степень $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{1} \sqrt{2 x + 3}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{2 x + 3}$ в степень $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{1} {\sqrt{2 x + 3}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ в виде $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 3}$ в виде ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + 2 x + 3$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$4 x + 4 = 4 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + 2 x$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{2 x + 3}$ и $\sqrt{2 x + 3}$ .

$4 x + 4 = 4 + 2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x$

Этап 4

Решим относительно $2 \sqrt{2 x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 + 2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x = 4 x + 4$ .

$4 + 2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x = 4 x + 4$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{2 x + 3}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x = 4 x + 4 - 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{2 x + 3} = 4 x + 4 - 4 - 2 x$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $4 x + 4 - 4 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = 4 x + 0 - 2 x$

Этап 4.2.3.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = 4 x - 2 x$

Этап 4.2.4

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = 2 x$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 3}$ в виде ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(2 x + 3)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$4 (2 x + 3) = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 x) + 4 \cdot 3 = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + 4 \cdot 3 = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $4$ на $3$ .

$8 x + 12 = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x + 12 = 2^{2} x^{2}$

Этап 6.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 x + 12 = 4 x^{2}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 x + 12 - 4 x^{2} = 0$

Этап 7.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $8 x + 12 - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Перенесем $12$ .

$8 x - 4 x^{2} + 12 = 0$

Этап 7.2.1.1.2

Изменим порядок $8 x$ и $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Этап 7.2.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Этап 7.2.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $8 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) + 12 = 0$

Этап 7.2.1.4

Вынесем множитель $- 4$ из $12$ .

$- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 3 = 0$

Этап 7.2.1.5

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (x^{2}) - 4 (- 2 x)$ .

$- 4 (x^{2} - 2 x) - 4 \cdot - 3 = 0$

Этап 7.2.1.6

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (x^{2} - 2 x) - 4 (- 3)$ .

$- 4 (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Этап 7.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 7.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 4 ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Этап 7.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 (x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 7.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 7.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $2 \sqrt{x + 1} - \sqrt{2 x + 3} = 1$ истинным.

$x = 3$