Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 55, \pm 5, \pm 11$

$q = \pm 1$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 55, \pm 5, \pm 11$

Этап 1.1.3

Подставим $- 5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $- 5$ в многочлен.

${(- 5)}^{4} + 15 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Этап 1.1.3.2

Возведем $- 5$ в степень $4$ .

$625 + 15 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Этап 1.1.3.3

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$625 + 15 \cdot - 125 + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Этап 1.1.3.4

Умножим $15$ на $- 125$ .

$625 - 1875 + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Этап 1.1.3.5

Вычтем $1875$ из $625$ .

$- 1250 + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Этап 1.1.3.6

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- 1250 + 40 \cdot 25 - 39 \cdot - 5 + 55$

Этап 1.1.3.7

Умножим $40$ на $25$ .

$- 1250 + 1000 - 39 \cdot - 5 + 55$

Этап 1.1.3.8

Добавим $- 1250$ и $1000$ .

$- 250 - 39 \cdot - 5 + 55$

Этап 1.1.3.9

Умножим $- 39$ на $- 5$ .

$- 250 + 195 + 55$

Этап 1.1.3.10

Добавим $- 250$ и $195$ .

$- 55 + 55$

Этап 1.1.3.11

Добавим $- 55$ и $55$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 5$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55}{x + 5}$

Этап 1.1.5

Разделим $x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55$ на $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 5 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{3} + 50 x^{2}$ .

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{2} - 50 x$ .

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

Этап 1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

Этап 1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $11 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

Этап 1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

$11 x$

$55$

Этап 1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $11 x + 55$ .

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

$11 x$

$55$

Этап 1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

$11 x$

$55$

$0$

Этап 1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$

Этап 1.1.6

Запишем $x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55$ в виде набора множителей.

$(x + 5) (x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11) = 0$

Этап 1.2

Разложим $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 11$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 11$

Этап 1.2.1.3

Подставим $- 11$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 11$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Подставим $- 11$ в многочлен.

${(- 11)}^{3} + 10 {(- 11)}^{2} - 10 \cdot - 11 + 11$

Этап 1.2.1.3.2

Возведем $- 11$ в степень $3$ .

$- 1331 + 10 {(- 11)}^{2} - 10 \cdot - 11 + 11$

Этап 1.2.1.3.3

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$- 1331 + 10 \cdot 121 - 10 \cdot - 11 + 11$

Этап 1.2.1.3.4

Умножим $10$ на $121$ .

$- 1331 + 1210 - 10 \cdot - 11 + 11$

Этап 1.2.1.3.5

Добавим $- 1331$ и $1210$ .

$- 121 - 10 \cdot - 11 + 11$

Этап 1.2.1.3.6

Умножим $- 10$ на $- 11$ .

$- 121 + 110 + 11$

Этап 1.2.1.3.7

Добавим $- 121$ и $110$ .

$- 11 + 11$

Этап 1.2.1.3.8

Добавим $- 11$ и $11$ .

$0$

Этап 1.2.1.4

Поскольку $- 11$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 11$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11}{x + 11}$

Этап 1.2.1.5

Разделим $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ на $x + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

$x$

$11$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

Этап 1.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$

Этап 1.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			+	$x^{3}$	+	$11 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 11 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 1.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$

Этап 1.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$

Этап 1.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$

Этап 1.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 11 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$

Этап 1.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$

Этап 1.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$

Этап 1.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$

Этап 1.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$
							+	$x$	+	$11$

Этап 1.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 11$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$
							-	$x$	-	$11$

Этап 1.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$
							-	$x$	-	$11$
										$0$

Этап 1.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x + 1$

Этап 1.2.1.6

Запишем $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ в виде набора множителей.

$(x + 5) ((x + 11) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 5) (x + 11) (x^{2} - x + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 11 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4

Приравняем $x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 11$ к $0$ .

$x + 11 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x = - 11$

Этап 5

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} - x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 5) (x + 11) (x^{2} - x + 1) = 0$ верно.

$x = - 5, - 11, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$