Основы мат. анализа Примеры

$2^{x^{3} - x} = 1$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x^{3} - x}) = \ln (1)$

Этап 2

Развернем $\ln (2^{x^{3} - x})$ , вынося $x^{3} - x$ из логарифма.

$(x^{3} - x) \ln (2) = \ln (1)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} \ln (2) - x \ln (2) = \ln (1)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x^{3} \ln (2) - x \ln (2) = 0$

Этап 5

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $x^{3} \ln (2) - x \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $x^{3} \ln (2)$ .

$x \ln (2) x^{2} - x \ln (2) = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $- x \ln (2)$ .

$x \ln (2) x^{2} + x \ln (2) \cdot - 1 = 0$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $x \ln (2) x^{2} + x \ln (2) \cdot - 1$ .

$x \ln (2) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x \ln (2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x \ln (2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x \ln (2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 9

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 10

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 11

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 11.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $x \ln (2) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$