Основы мат. анализа Примеры

$10^{2 x} + 2 (10^{x}) - 24 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $10^{2 x}$ в виде ${(10^{x})}^{2}$ .

${(10^{x})}^{2} + 2 \cdot 10^{x} - 24 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = 10^{x}$ . Подставим $u$ вместо $10^{x}$ для всех.

$u^{2} + 2 u - 24 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + 2 u - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $2$ .

$- 4, 6$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u + 6) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $10^{x}$ .

$(10^{x} - 4) (10^{x} + 6) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$10^{x} - 4 = 0$

$10^{x} + 6 = 0$

Этап 3

Приравняем $10^{x} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $10^{x} - 4$ к $0$ .

$10^{x} - 4 = 0$

Этап 3.2

Решим $10^{x} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$10^{x} = 4$

Этап 3.2.2

Возьмем логарифм по основанию $10$ обеих частей уравнения, чтобы избавиться от переменной в показателе степени.

$\log (10^{x}) = \log (4)$

Этап 3.2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Развернем $\log (10^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \log (10) = \log (4)$

Этап 3.2.3.2

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \log (4)$

Этап 3.2.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \log (4)$

Этап 4

Приравняем $10^{x} + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $10^{x} + 6$ к $0$ .

$10^{x} + 6 = 0$

Этап 4.2

Решим $10^{x} + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$10^{x} = - 6$

Этап 4.2.2

$\log (10^{x}) = \log (- 6)$

Этап 4.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\log (- 6)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.2.4

Нет решения для $10^{x} = - 6$

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(10^{x} - 4) (10^{x} + 6) = 0$ верно.

$x = \log (4)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \log (4)$

Десятичная форма:

$x = 0.60205999 \dots$