Основы мат. анализа Примеры

$| x - 10 | = x^{2} - 10 x$

Этап 1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 10 x = | x - 10 |$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $| x - 10 | = x^{2} - 10 x$ .

$| x - 10 | = x^{2} - 10 x$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 10 = \pm (x^{2} - 10 x)$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 10 = x^{2} - 10 x$

Этап 4.2

$x^{2} - 10 x = x - 10$

Этап 4.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 10 x - x = - 10$

Этап 4.3.2

Вычтем $x$ из $- 10 x$ .

$x^{2} - 11 x = - 10$

Этап 4.4

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 11 x + 10 = 0$

Этап 4.5

Разложим $x^{2} - 11 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 11$ .

$- 10, - 1$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x - 1) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 4.8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 10, 1$

Этап 4.10

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 10 = - (x^{2} - 10 x)$

Этап 4.11

$- (x^{2} - 10 x) = x - 10$

Этап 4.12

Упростим $- (x^{2} - 10 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Перепишем.

$0 + 0 - (x^{2} - 10 x) = x - 10$

Этап 4.12.2

Упростим путем добавления нулей.

$- (x^{2} - 10 x) = x - 10$

Этап 4.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - (- 10 x) = x - 10$

Этап 4.12.4

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$- x^{2} + 10 x = x - 10$

Этап 4.13

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} + 10 x - x = - 10$

Этап 4.13.2

Вычтем $x$ из $10 x$ .

$- x^{2} + 9 x = - 10$

Этап 4.14

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} + 9 x + 10 = 0$

Этап 4.15

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 9 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 9 x + 10 = 0$

Этап 4.15.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $9 x$ .

$- (x^{2}) - (- 9 x) + 10 = 0$

Этап 4.15.1.3

Перепишем $10$ в виде $- 1 (- 10)$ .

$- (x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 10 = 0$

Этап 4.15.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 9 x)$ .

$- (x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 10 = 0$

Этап 4.15.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 10)$ .

$- (x^{2} - 9 x - 10) = 0$

Этап 4.15.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.2.1

Разложим $x^{2} - 9 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 9$ .

$- 10, 1$

Этап 4.15.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 10) (x + 1)) = 0$

Этап 4.15.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 10) (x + 1) = 0$

Этап 4.16

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.17

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 4.17.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 4.18

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.18.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.19

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 10) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 10, - 1$

Этап 4.20

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 10, 1, - 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $| x - 10 | = x^{2} - 10 x$ истинным.

$x = 10, - 1$