Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{2 x + 7} - \frac{x + 1}{x + 3} = 1$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x + 7, x + 3, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $2 x + 7$ является само значение $2 x + 7$ .

$(2 x + 7) = 2 x + 7$

$(2 x + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $2 x + 7, x + 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 x + 7) (x + 3)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x}{2 x + 7} - \frac{x + 1}{x + 3} = 1$ умножим на $(2 x + 7) (x + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x}{2 x + 7} - \frac{x + 1}{x + 3} = 1$ на $(2 x + 7) (x + 3)$ .

$\frac{x}{2 x + 7} ((2 x + 7) (x + 3)) - \frac{x + 1}{x + 3} ((2 x + 7) (x + 3)) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $2 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2 x + 7} ((2 x + 7) (x + 3)) - \frac{x + 1}{x + 3} ((2 x + 7) (x + 3)) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x + 3) - \frac{x + 1}{x + 3} ((2 x + 7) (x + 3)) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 3 - \frac{x + 1}{x + 3} ((2 x + 7) (x + 3)) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 - \frac{x + 1}{x + 3} ((2 x + 7) (x + 3)) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.4

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x - \frac{x + 1}{x + 3} ((2 x + 7) (x + 3)) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.5

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x + 1}{x + 3}$ в числитель.

$x^{2} + 3 x + \frac{- (x + 1)}{x + 3} ((2 x + 7) (x + 3)) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.5.2

Вынесем множитель $x + 3$ из $(2 x + 7) (x + 3)$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{- (x + 1)}{x + 3} ((x + 3) (2 x + 7)) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 3 x + \frac{- (x + 1)}{x + 3} ((x + 3) (2 x + 7)) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 3 x - (x + 1) (2 x + 7) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 x + (- x - 1 \cdot 1) (2 x + 7) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} + 3 x + (- x - 1) (2 x + 7) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.8

Развернем $(- x - 1) (2 x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 x - x (2 x + 7) - 1 (2 x + 7) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 x - x (2 x) - x \cdot 7 - 1 (2 x + 7) = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 x - x (2 x) - x \cdot 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 3 x - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.9.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 3 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.9.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 3 x - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.9.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - x \cdot 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.9.1.4

Умножим $7$ на $- 1$ .

$x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 7 x - 1 (2 x) - 1 \cdot 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.9.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 7 x - 2 x - 1 \cdot 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.9.1.6

Умножим $- 1$ на $7$ .

$x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 7 x - 2 x - 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.1.9.2

Вычтем $2 x$ из $- 7 x$ .

$x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 9 x - 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x^{2} + 3 x - 9 x - 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $9 x$ из $3 x$ .

$- x^{2} - 6 x - 7 = 1 ((2 x + 7) (x + 3))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $(2 x + 7) (x + 3)$ на $1$ .

$- x^{2} - 6 x - 7 = (2 x + 7) (x + 3)$

Этап 2.3.2

Развернем $(2 x + 7) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - 6 x - 7 = 2 x (x + 3) + 7 (x + 3)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - 6 x - 7 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 7 (x + 3)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - 6 x - 7 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 7 x + 7 \cdot 3$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- x^{2} - 6 x - 7 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 7 x + 7 \cdot 3$

Этап 2.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} - 6 x - 7 = 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 7 x + 7 \cdot 3$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- x^{2} - 6 x - 7 = 2 x^{2} + 6 x + 7 x + 7 \cdot 3$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $7$ на $3$ .

$- x^{2} - 6 x - 7 = 2 x^{2} + 6 x + 7 x + 21$

Этап 2.3.3.2

Добавим $6 x$ и $7 x$ .

$- x^{2} - 6 x - 7 = 2 x^{2} + 13 x + 21$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} - 6 x - 7 - 2 x^{2} = 13 x + 21$

Этап 3.1.2

Вычтем $13 x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} - 6 x - 7 - 2 x^{2} - 13 x = 21$

Этап 3.1.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 6 x - 7 - 13 x = 21$

Этап 3.1.4

Вычтем $13 x$ из $- 6 x$ .

$- 3 x^{2} - 19 x - 7 = 21$

Этап 3.2

Вычтем $21$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} - 19 x - 7 - 21 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $21$ из $- 7$ .

$- 3 x^{2} - 19 x - 28 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2} - 19 x - 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 19 x - 28 = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 19 x$ .

$- (3 x^{2}) - (19 x) - 28 = 0$

Этап 3.4.1.3

Перепишем $- 28$ в виде $- 1 (28)$ .

$- (3 x^{2}) - (19 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (19 x)$ .

$- (3 x^{2} + 19 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} + 19 x) - 1 (28)$ .

$- (3 x^{2} + 19 x + 28) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 28 = 84$ , а сумма — $b = 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $19$ из $19 x$ .

$- (3 x^{2} + 19 (x) + 28) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.2

Запишем $19$ как $7$ плюс $12$

$- (3 x^{2} + (7 + 12) x + 28) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} + 7 x + 12 x + 28) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} + 7 x) + 12 x + 28) = 0$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x + 7) + 4 (3 x + 7)) = 0$

Этап 3.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 7$ .

$- ((3 x + 7) (x + 4)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x + 7) (x + 4) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 7 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $3 x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $3 x + 7$ к $0$ .

$3 x + 7 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $3 x + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 7$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 7}{3}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 7}{3}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{3}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{3}$

Этап 3.7

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x + 7) (x + 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{7}{3}, - 4$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{7}{3}, - 4$

Десятичная форма:

$x = - 2.\overline{3}, - 4$

Форма смешанных чисел:

$x = - 2 \frac{1}{3}, - 4$