Основы мат. анализа Примеры

$(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} (e^{x} - e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) + e^{- x} e^{x} + e^{- x} (- e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.2

Объединим противоположные члены в $e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) + e^{- x} e^{x} + e^{- x} (- e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $e^{x} (- e^{- x})$ и $e^{- x} e^{x}$ .

$e^{x} e^{x} - e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} (- e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.2.2

Добавим $- e^{- x} e^{x}$ и $e^{- x} e^{x}$ .

$e^{x} e^{x} + 0 + e^{- x} (- e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.2.3

Добавим $e^{x} e^{x}$ и $0$ .

$e^{x} e^{x} + e^{- x} (- e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x + x} + e^{- x} (- e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.3.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$e^{2 x} + e^{- x} (- e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} - e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.3.3

Умножим $e^{- x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$e^{2 x} - (e^{- x} e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 x} - e^{- x - x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.3.3.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Этап 1.4

Перепишем ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ в виде $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - ((e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}))$

Этап 1.5

Развернем $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.3

Умножим $e^{x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.3.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.4

Упростим $- e^{0}$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.5

Умножим $e^{- x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.5.1

Перенесем $e^{x}$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.5.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.6

Упростим $- e^{0}$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}))$

Этап 1.6.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x})$

Этап 1.6.1.8

Умножим $e^{- x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.8.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}))$

Этап 1.6.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x})$

Этап 1.6.1.8.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x})$

Этап 1.6.1.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x})$

Этап 1.6.1.10

Умножим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x})$

Этап 1.6.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x})$

Этап 1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - e^{2 x} - - 2 - e^{- 2 x}$

Этап 1.8

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$e^{2 x} - e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}$

Этап 2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим противоположные члены в $e^{2 x} - e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $e^{2 x}$ из $e^{2 x}$ .

$0 - e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}$

Этап 2.1.2

Вычтем $e^{- 2 x}$ из $0$ .

$- e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}$

Этап 2.2

Вычтем $e^{- 2 x}$ из $- e^{- 2 x}$ .

$2 - 2 e^{- 2 x}$