Основы мат. анализа Примеры

$y^{5} - 18 y^{4} + 6 y^{3} = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{5} - 18 y^{4} + 6 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{5}$ .

$y^{3} y^{2} - 18 y^{4} + 6 y^{3} = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- 18 y^{4}$ .

$y^{3} y^{2} + y^{3} (- 18 y) + 6 y^{3} = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $y^{3}$ из $6 y^{3}$ .

$y^{3} y^{2} + y^{3} (- 18 y) + y^{3} \cdot 6 = 0$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} y^{2} + y^{3} (- 18 y)$ .

$y^{3} (y^{2} - 18 y) + y^{3} \cdot 6 = 0$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} (y^{2} - 18 y) + y^{3} \cdot 6$ .

$y^{3} (y^{2} - 18 y + 6) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y^{3} = 0$

$y^{2} - 18 y + 6 = 0$

Этап 3

Приравняем $y^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $y^{3}$ к $0$ .

$y^{3} = 0$

Этап 3.2

Решим $y^{3} = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$y = 0$

Этап 4

Приравняем $y^{2} - 18 y + 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $y^{2} - 18 y + 6$ к $0$ .

$y^{2} - 18 y + 6 = 0$

Этап 4.2

Решим $y^{2} - 18 y + 6 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 18$ и $c = 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.3

Вычтем $24$ из $324$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.4

Перепишем $300$ в виде $10^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $300$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{18 \pm 10 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{18 \pm 10 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.3.3

Упростим $\frac{18 \pm 10 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 9 \pm 5 \sqrt{3}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 9 + 5 \sqrt{3}, 9 - 5 \sqrt{3}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $y^{3} (y^{2} - 18 y + 6) = 0$ верно.

$y = 0, 9 + 5 \sqrt{3}, 9 - 5 \sqrt{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = 0, 9 + 5 \sqrt{3}, 9 - 5 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$y = 0, 17.66025403 \dots, 0.33974596 \dots$