Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 6)) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Этап 1.3.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (9)$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (9)}{2}$

Этап 2.2

Перепишем $\ln (9)$ в виде $\ln (3^{2})$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (3^{2})}{2}$

Этап 2.3

Развернем $\ln (3^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Этап 2.4.2

Разделим $\ln (3)$ на $1$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \ln (3)$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} + 6 x = 3$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Этап 4.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Добавим $36$ и $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 2 \sqrt{3}$

Этап 4.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}, - 3 - 2 \sqrt{3}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$ истинным.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 0.46410161 \dots$