Основы мат. анализа Примеры

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Этап 1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь

$x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение

$arccsc (\sqrt{2})$ :

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

$π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{4}$

Этап 4

Упростим

$π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим

$π$ и

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем

$4$ влево от

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 4.3.2

Вычтем

$π$ из

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5

Найдем период

$\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 6

Период функции

$\csc (x)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого

$n$