Основы мат. анализа Примеры

$\cot (x) \cos^{2} (x) = 2 \cot (x)$

Этап 1

Вычтем $2 \cot (x)$ из обеих частей уравнения.

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Этап 2.1.2.2

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Этап 2.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Этап 2.1.3

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.1.4

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.2.2

Разделим дроби.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.2.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.2.4

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.2.5

Разделим дроби.

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = 0$

Этап 2.2.6

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \cot (x)) = 0$

Этап 2.2.7

Разделим $2$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (2 \cot (x)) = 0$

Этап 2.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $\cos^{2} (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $- 2 \cot (x)$ .

$\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2$ .

$\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

Этап 5

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ .

$\cot (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cot (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\cos^{2} (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos^{2} (x) - 2$ к $0$ .

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos^{2} (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\cos^{2} (x) = 2$

Этап 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{2}$

Этап 6.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \sqrt{2}$

Этап 6.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

Этап 6.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 6.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

Этап 6.2.5

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\sqrt{2}$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6.2.6

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \sqrt{2}$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$