Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Этап 6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $2 (2 π - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Этап 6.2.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{2}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{2}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

Этап 7

Найдем период $\cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 8

Период функции $\cos (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , для любого целого $n$